オタク男子の勉強日記

コンピュータサイエンス、データサイエンスの日々の勉強日記

続.Conditional Monte Carloの金融工学への応用

前ブログの定理の証明を書きます。

この証明のキーポイントは

$\hat{F}_{n; R}^{Cond}(\hat{q}) - \hat{F}_{n; R}^{Cond}(q) = (\hat{q} - q)f_{n}(q)(1+o(1))$ (1)

という式を示すことです。実際、

$\hat{F}_{n;R}^{Cond}(\hat{q}_{Cond})=\alpha=F_{n}(q)$ が成り立つことに注意すると、（左辺はサンプルから推定したVaRボーダー、右辺は実際のVaRボーダーについての式ですね）

$0=\hat{F}_{n, R}^{Cond}(\hat{q}) - \hat{F}_{n; R}^{Cond}(q) + \hat{F}_{n; R}^{Cond}(q) - F_{n}(q)$ $=(\hat{q}-q)f_{n}(q)(1+o(1))$ $+\frac{\sqrt{Var(F(q-S_{n-1}))}}{\sqrt{R}}V(1+o(1))$

となり、(V~N(0, 1)です)この式を変形すれば示せます。

$f_n$ を連続とします。

$\hat{F}_{n, R}^{Cond}(\hat{q})-\hat{F}_{n, R}^{Cond}(q)=(\hat{q}-q)\hat{f}_{n,R}^{Cond}(q^{*})$

をみたす $q^{*}$ が $\hat{q}$ と $q$ の間にあります。

$f$ を広義単調減少と仮定すると、十分大きなRに対して $|\hat{q}-q|\leq\epsilon$ なので

$\hat{f}_{n;R}^{Cond}(q+\epsilon)\leq\hat{f}_{n, R}^{Cond}(q^{*})\leq\hat{f}_{n,R}^{Cond}(q-\epsilon)$

がそのRに対して成り立ちます。

この式と $\hat{f}_{n,R}^{Cond}(\cdot)$ の一致性より、

$\hat{f}_{n, R}^{Cond}(q^{*})⇀f_{n}(q)$

となり、(1)式が示せます。

この記事を読んだ方の中には、 $S_{n-1}$ が与えられた中での $S_{n}$ の条件付き分布の $\alpha$ 分位点を、R回繰り返す、という方法をとったほうがより単純にVaRを推定できるのでは？と思うかもしれません。しかし、この方法での推定値は $R⇀\infty$ にしてもバイアスがあります。

これはi.i.d.でN(0, 1)の例を考えれば単純で、推定値は

$\tilde{q}=S_{n-1}+z_{\alpha}$ ( $z_{\alpha}=\Phi^{-1}(\alpha)$ )

となりますが、

$\sqrt{n}z_{\alpha}$ が正しい推定値です。